题目

有一个长为n+9,宽为n,高为n+3的棱住,把它切成很多个以1为单位的小正方体.现在要在这棱住外表面上色,问 当有上到色的小正方体的个数等于没上到色的小正方体的个数时,n 等于多少

提问时间：2021-12-17

答案

这个棱柱可以被切成n(n+3)(n+9)个小正方体
在外表面上色,总共上色的区域是：
2[n(n+9)+n(n+3)+(n+3)(n+9)]=6n^2+48n+54
但是这里面,在角上的小正方体三个面被染色,在棱上的小正方体2个面被染色,所以总共被上色的小正方体个数是：
(6n^2+48n+54)-2*8-4[n-2+(n+3-2)+(n+9-2)]
=6n^2+36n+14
依题意,上色的小正方体是所有小正方体的一半
2(6n^2+36n+14)=n^3+12n^2+27n
解方程,得：
n=7