题目

同余式3x≡ 1(mod5)是怎样转化为x≡2 (mod5)的?

提问时间：2021-12-14

答案

3x==1 mod 5
解一:乘2得
6x==2 mod 5
左边 mod 5得
于是x==2 mod 5
解二:右边加上5的倍数,同余式成立,故
3x==6 再两边同时除以 与5互质的数3,得 x==2
其中利用了同余式的性质#1和#2 :
#1:与等式类似,乘以同一等价类的两个数,同余式成立.
#1' :与模的互质的因子,及其等价类,在等式两边可以分别消去.
如 8x ==19 mod 15 ,可以一边消去 4,一边消去 19 而得到
2x ==1 mod 15.注意到,其中4与19均与15互质,并且二者对模15同余.
#2 :两边同时加上或减去模(除数)的倍数,即模0(余数为0的)等价类,同余式成立.
其实,由性质#2,我们可以视 mod m符号为这样一个滑动数,可以在等式两边任意移动,不必考虑正负号,也不需考虑实际是多少,只需当作是代数和.
在这个意义上,mod m符号就代表着 余数为0的等价类本身,但是注意,它可任意移动.
此外,ax == b mod m
还可写成分数形式:x==b /a mod m
由上面的性质,不难知道这个分数的可变性:
b/a == (kb+mx)/(ka+my) mod m ,其中 k与m互质
此时可写成 x==1/3 ==6/3 ==2
另外,我这种视 modm 为m的余数0的可滑动等价类 的观点,用于解不定方程也极方便.
用这种观点解不定方程的方便性,可参考我近日写的博文.
3x==1 # [5] 注:这是+ 表示代数和,[M] 表示模M的任意倍数,即m的余数0等价类.也可记为 ,我习惯写为M上加一个圈,并省略代数和符号.
此题也可以用不定方程来解:
3x = 1 + 5 k
立即取k=1,x=2 mod 5.