题目

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁＞0，S₅₀=0.设b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N₊），则当数列{b_n}的前n项和T_n取得最大值时，n的值是（　　）
A. 23
B. 25
C. 23或24
D. 23或25

提问时间：2021-12-13

答案

∵a₁＞0，S₅₀=0，
∴等差数列{a_n}的公差d＜0，
且S50＝

50(a1+a50)

2

＝25(a25+a26)＝0．
则a₂₅＞0，a₂₆＜0，且|a₂₅|=|a₂₆|．
由b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N₊），
知从b₁到b₂₃的值都大于零，n=23时T_n达到最大，
而b₂₄与b₂₅是绝对值相等，符号相反，相加为零，
∴T₂₃=T₂₅，之后T_n越来越小．
故选：D．

由已知得到等差数列{a_n}的公差d＜0，且a₂₅＞0，a₂₆＜0，|a₂₅|=|a₂₆|．结合b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N₊），
知从b₁到b₂₃的值都大于零，n=23时T_n达到最大．

本题考点：数列递推式；数列的求和．

考点点评：本题考查了数列递推式，考查了数列的求和，关键是明确数列{b_n}的项的特点，是中档题．