题目

曲线y＝1+

4−x2

（|x|≤2）与直线y=k（x-2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（　　）
A. (

5

12

，

3

4

]
B. （

5

12

，+∞）
C. (

1

3

，

3

4

)
D. (0，

5

12

)

提问时间：2021-12-13

答案

曲线y＝1+

4−x2

(| 即  x²+（y-1）²=4，（y≥1），表示以A（0，1）为圆心，以2为半径的圆位于直线 y=1 上方的部分（包含圆与直线y=1 的交点C和 D），是一个半圆，如图：
直线y=k（x-2）+4过定点B（2，4），设半圆的切线BE的切点为E，则 BC的斜率为 K_BC=

4−1

2+2

=

3

4

．
设切线BE的斜率为k′，k′＞0，则切线BE的方程为  y-4=k′（x-2），根据圆心A到线BE距离等于半径得
2=

|0−1+4−2k′|

1+(k′)2

，k′=

5

12

，
由题意可得 k′＜k≤K_BC，∴

5

12

＜k≤

3

4

，
故选 A．

如图，求出 BC的斜率，根据圆心到切线的距离等于半径，求得切线BE的斜率k′，由题意可知，k′＜k≤K_BC，从而得到实数k的取值范围．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，判断
 k′＜k≤K_BC，是解题的关键．