题目

求两函数极限区间的题目
1.设f(x)在[0,2a]上连续且发f(0)=f(2a)
证明：至少存在一点δ∈[0,a],使得f(δ)=f(δ+a)
2.设f(x)在（a,b）内连续,lim（x→a+）f（x）=A,lim（x→b-）f（x）=B,且AB＜0.
证明：至少存在一点δ∈（a,b）,使得f（δ）=0
因为这两个题是期末考试的题目,

提问时间：2021-12-13

答案

1.
令F(X)=f(x)-f(x+a)
F(0)=f(0)-f(a) F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0)
若f(a)=f(0) 则存在δ=a,使得 f(δ)=f(δ+a)
若f(a)≠f(0) 则F(0)与F（a）异号 根据连续函数的介值定理,存在δ∈(0,a)包含于[0,a]
使得F(δ)=f(δ)-f(δ+a)=0 即f(δ)=f(δ+a)
2. A x=a
令g(x)= f(x) x∈(a,b)
B x=b
由题意可知g(x)在[a,b]上连续
又因为AB