题目

已知集合M={x|f(x)-x=0,x∈R}与集合N={x|f[f(x)]-x=0,x∈R},其中f(x)是一个二次项系数为1的二次函数
（1）判断M与N的关系
（2）若M是单元素集合,求证M=N
（3）若M=｛2,5｝,求集合N

提问时间：2021-12-13

答案

不妨设 f(x) = x^2+bx+c;
在 M 中,f(x) = x^2+bx+c = x ……（1）;
再看 N：f[f(x)] = (x^2+bx+c)^2 + b*(x^2+bx+c) + c …… （2）
假设 x ∈ M ,则 （2）式可化为：f[f(x)] = x^2+bx+c = x
即 x ∈ N ,所以 M ⊆ N.
但是反过来是不成立的,这很显然,因为 N 相当于是解一个 一元四次方程,可能有四个不同的解,而 M 再多只有两个解.
（2） 用反证法：
假设有 N 还存在至少另外一个元素满足条件,
不妨设 N = { x1,x2 },M={ x1 }.
( 注：下面的符号 != 表示 “不等于”）
对于 f[f(x)] - x = (x^2+bx+c)^2 + b*(x^2+bx+c) + c - x = 0,
因为 f(x2) = t != x2 ,即 f[f(x2)] - x2 = t^2 + b*t + c - x2 = 0 成立.
对于 f(t) = t^2 + b*t + c,由 M 是单元素集合可知,t = x2 必然成立,这与假设矛盾,故有 M=N.