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题目
已知logab=logba,(a>0,b>0且a≠1,b≠1),求证:a=b或a=
1
b

提问时间:2021-12-13

答案
∵logab=logba
∴由换底公式得:
lgb
lga
lga
lgb

即(lga)2=(lgb)2
∴lga=lgb或lga=-lgb,
由对数的运算性质得:a=b或a=
1
b
先利用换底公式化成
lgb
lga
lga
lgb
,因此得(lga)2=(lgb)2,即lga=lgb或lga=-lgb,从而根据对数的运算性质可证得a=b或a=
1
b

对数的运算性质.

本题考查了对数的运算性质,解题的关键是利用换底公式进行转化.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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