题目

已知关于x的方程x2−(k+1)x+

1

4

k2+1＝0的两根是一个矩形两边的长．
（1）k取何值时，方程存在两个正实数根？
（2）当矩形的对角线长是

5

时，求k的值．

提问时间：2021-12-09

答案

（1）设方程的两根为x₁，x₂
则△=（k+1）²-4（

1

4

k²+1）=2k-3，
∵方程有两个实数根，∴△≥0，即2k-3≥0，①
k+1＞0，②

1

4

k2＞0    ③
∴综上可知k≥

3

2

∴当k≥

3

2

，方程有两个正实数根．
（2）由题意得：

x1+x2＝k+1 x1x2＝ 1 4 k2+1

，
又∵x₁²+x₂²=5，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，
（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=5，
整理得k²+4k-12=0，
解得k=2或k=-6（舍去），
∴k的值为2．

（1）根据一元二次方程根的判别式，方程有两个正实数根，则判别式△≥0，且两根的和与积都是正数，得出关于k的不等式组，求出k的取值范围．
（2）根据勾股定理得到的两根的平方和与根与系数的关系得出关于k的方程，求出k的值并检验．

本题考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评：解决本题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系和勾股定理，把问题转化为解方程求得k的值，本题解题的关键是根与系数的关系的应用．