题目

根据条件，分别求出椭圆的方程：

（1）中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为

1

2

，长轴长为8；
（2）中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，短轴的一个顶点B与两个焦点F₁，F₂组成的三角形的周长为4+2

3

，且∠F1BF2＝

2π

3

．

提问时间：2021-12-09

答案

（1）∵椭圆的长轴长为8，即2a=8，
∴a=4，∵离心率为

1

2

，即e=

c

a

=

1

2

，∴c=2
∵b²=a²-c²，∴b²=16-4=12，
当椭圆焦点在x轴上时，椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

＝1
当椭圆焦点在y轴上时，椭圆方程为

y2

16

+

x2

12

＝1．
所求椭圆方程为：

x2

16

+

y2

12

＝1或

y2

16

+

x2

12

＝1
（2）设长轴为2a，焦距为2c，则在△F₂OB中，由∠F2BO＝

π

3

得：c=

3

2

a，
所以△F₂OF₁的周长为：2a+2c=4+2

3

，∴a=2，c=

3

，∴b²=1
故得：

x2

4

+y2＝1．

（1）先求出椭圆中的长半轴长和短半轴长，再判断焦点位置，因为焦点位置不确定，所以求出的椭圆方程有两种形式．
（2）结合函数图形，通过直角三角形△F₂OB推出a，c的关系，利用周长得到第二个关系，求出a，c然后求出b，求出椭圆的方程．

本题考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．

考点点评：本题主要考查考察查了椭圆的标准方程的求法，关键是求出a，b的值，易错点是没有判断焦点位置．