题目

二次函数和一次函数交点问题
无论k取何值,二次函数y=ax^2+bx+c(a大于0)与一次函数y=k(x-1)-k^2/4（这个是四分之k平方.）总是只有一个交点,求k值.
求二次函数式不是求k值，打错了请谅解。另请写出过程

提问时间：2021-12-08

答案

两个方程联立得
ax^2 + bx + c = k(x-1) - k^2/4
即
ax^2 + (b-k)x + (c+k+k^2/4) = 0
因为只有一个交点,所以这个二次方程只有一个根.
即判别式恒为0.
所以(b-k)^2 - 4a(c+k+k^2/4) = 0
展开得：
k^2 -2bk + b^2 = 4ac + 4ak + ak^2
所以(a-1)k^2 + (4a+2b)k + (4ac-b^2) = 0对任意k都成立,
因此有：
a-1=0
4a+2b=0
4ac-b^2=0
解得
a=1
b=-2
c=1
所以二次函数的方程为
y = x^2 - 2x + 1