题目

如图①，以四边形AOCD的顶点O为原点建立直角坐标系，点A、C、D的坐标分别为（0，2）、（2，0）、（2，2），点P（m，0）是x轴上一动点，m是大于0的常数，以AP为一边作正方形APQR（QR落在第一象限），连接CQ．

（1）请判断四边形AOCD的形状，并说明理由：
（2）连接RD，请判断△ARD的形状，并说明理由：
（3）如图②，随着点P（m，0）的运动，正方形APQR的大小会发生改变，若设CQ所在直线的表达式为y=kx+b（k≠0），求k的值．

提问时间：2021-12-08

答案

（1）如图①，由题意知：OA=OC=CD=AD=2
∴四边形OADC为菱形．
又∵∠AOC=90°
∴四边形OADC为正方形；
（2）如图①，∵四边形APQR是正方形，
∴AP=AR，∠PAR=90°，
∵四边形OADC是正方形，
∴∠OAD=90°，
∴∠OAP=∠DAR，
又∵OA=DA
∴在△OAP与△DAR中，

AO=AD ∠OAP=∠DAR AP=AR

，
∴△OAP≌△DAR（SAS），
∴∠ADR=∠AOP=90°，即△ARD为直角三角形；

（3）如图②，过点Q作QE⊥x轴于E点．则∠QEC=∠AOP=90°
∵四边形APQR是正方形
∴AP=PQ，∠APQ=90°，
∴∠APO+∠EPQ=90°．
∵∠OAP+∠APO=90°，
∴∠OAP=∠EPQ，
∴在△AOP与△PEQ中，

∠AOP=∠PEQ ∠OAP=∠EPQ AP=PQ

，
∴△AOP≌△PEQ（AAS），
∴AO=PE=2，PO=QE=m（m是大于0的常数），
∴Q（2+m，m）、C（2，0）
∴

m=(2+m)k+b 0=2k+b

解得：

k=1 b=-2

∴k的值为1．

（1）首先由“四条边相等的四边形”可以判定四边形AOCD是菱形，然后由“有一内角为直角的菱形是正方形”推知菱形AOCD是正方形；
（2）利用△OAP≌△DAR（SAS），求出∠ADR=∠AOP=90°，即得△ARD是直角三角形；
（3）通过证△AOP≌△PEQ（AAS），得到AO=PE=2，PO=QE=m（m是大于0的常数），即Q（2+m，m）、C（2，0）．所以把Q、C的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组来求k的值．

本题考点：一次函数综合题．

考点点评：本题考查了一次函数综合题，其中涉及到的知识点有：正方形的性质，全等三角形的判定与性质、以及用待定系数法求一次函数的解析式．解答（3）中的方程组时，要注意m的取值范围．