题目

如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB=OC．

（1）求点B的坐标；
（2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂足为H，设△HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）．

提问时间：2021-12-08

答案

（1）如答图1，过点B作BN⊥OC，垂足为N
由题意知，OB=OC=10，BN=OA=8
∴ON=

OB2−BN2

=6，
∴B（6，8）
（2）如答图1，∵∠BON=∠POH，∠ONB=∠OHP=90°
∴△BON∽△POH，
∴

BO

PO

=

ON

OH

=

BN

PH

∵PC=5t，
∴OP=10-5t，
∴OH=6-3t，PH=8-4t，
∴BH=OB-OH=10-（6-3t）=3t+4，
∴S=

1

2

（3t+4）（8-4t）=-6t²+4t+16（0≤t＜2）．

（1）过点B作BN⊥OC，则四边形ABNO是矩形，BN=AO=8，AB=ON，由勾股定理可求得NB的长；
（2）可证△BON∽△POH，有

BO

PO

=

ON

OH

=

BN

PH

，由题意知OP=10-5t，OH=6-3tPH=8-4t，BH=OB-OH=10-（6-3t）=3t+4，从而求得S的表达式，由于OC=10，故0≤t＜2．

本题考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理．

考点点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理、平面直角坐标系等知识点，解题的关键在于找到相似三角形，利用相似三角形的性质列出函数关系式．