题目

已知，正方形ABCD的边长为1，直线l₁∥直线l₂，l₁与l₂之间的距离为1，l₁、l₂与正方形ABCD的边总有交点．

（1）如图1，当l₁⊥AC于点A，l₂⊥AC交边DC、BC分别于E、F时，求△EFC的周长；
（2）把图1中的l₁与l₂同时向右平移x，得到图2，问△EFC与△AMN的周长的和是否随x的变化而变化，若不变，求出△EFC与△AMN的周长的和；若变化，请说明理由；
（3）把图2中的正方形饶点A逆时针旋转α，得到图3，问△EFC与△AMN的周长的和是否随α的变化而变化？若不变，求出△EFC与△AMN的周长的和；若变化，请说明理由．

提问时间：2021-12-04

答案

（1）如图1，∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC=

2

．
又∵直线l₁∥直线l₂，l₁与l₂之间的距离为1．
∴CG=

2

-1．
∴EF=2

2

-2，EC=CF=2-

2

．
∴△EFC的周长为EF+EC+CF=2；
（2）△EFC与△AMN的周长的和不随x的变化而变化．
如图2，把l₁、l₂向左平移相同的距离，
使得l₁过A点，即l₁平移到l₄，l₂平移到l₃，
过E、F分别做l₃的垂线，垂足为R，G．
可证△AHM≌△ERP，△AHN≌△FGQ．
∴AM=EP，HM=PR，AN=FQ，HN=GQ．
∴△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长，由已知可计算△CPQ的周长为2，
∴△EFC与△AMN的周长的和为2；
（3）△EFC与△AMN的周长的和不随α的变化而变化．
如图3，把l₁、l₂平移相同的距离，使得l₁过A点，即l₁平移到l₄，l₂平移到l₃，
过E、F分别做l₃的垂线，垂足为R，S．过A作l₁的垂线，垂足为H．
可证△AHM≌△FSQ，△AHN≌△ERP，
∴AM=FQ，HM=SQ，AN=EP，HN=RP．
∴△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长．
如图4，过A作l₃的垂线，垂足为T．连接AP、AQ．
可证△APT≌△APD，△AQT≌△AQB，
∴DP=PT，BQ=TQ．
∴△CPQ的周长为DP+PC+CQ+QB=DC+CB=2．
∴△EFC与△AMN的周长的和为2．

（1）分别计算EF、EC、CF的长度，计算△EFC的周长即EF+EC+CF即可；
（2）证明△AHM≌△ERP，△AHN≌△FGQ得AM=EP，HM=PR，AN=FQ，HN=GQ，可得△EFC与△AMN的周长的和不随x的变化而变化．
（3）△AHM≌△FSQ，△AHN≌△ERP可得AM=FQ，HM=SQ，AN=EP，HN=RP．可以求得△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长．

本题考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；几何变换的类型．

考点点评：本题考查了正方形各边长相等的性质，正方形各内角为直角的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，几何变换类型题目的解决方法．