题目

已知数列｛an｝中,a1=1,当n>=2时,an=(根号Sn+根号Sn-1)/2,（1）证明数列｛根号Sn｝是一个等差数列；（2）求an
（希望写出完整过程……谢谢……在线等……）

提问时间：2021-12-03

答案

因为an=Sn-S(n-1)
又因为an=[√Sn+√S(n-1)]/2
所以Sn-S(n-1)=[√Sn+√S(n-1)]/2
==>[√Sn-√S(n-1)][√Sn+√S(n-1)=[√Sn+√S(n-1)]/2
==>√Sn-√S(n-1)=1/2
所以√Sn 一个以1/2为公差的等差数列
因为√S1=√a1=1
√Sn=1+(n-1)/2 ==>√Sn=(n+1)/2
平方可得Sn=(n+1)(n+1)/4
an=Sn-S(n-1)=(n+1)(n+1)/4-n*n/4=(2n+1)/4 (n>=2)
把1带入an=(2n+1)/4不满足a1=1
所以
n=1时 an=1
n>1时 an=(2n+1)/4