题目

高二数学!快.
直线L过点P(-2,1)且斜率k>1,将直线L绕点P按逆时针方向旋转45度得直线m,若直线L和直线m分别与y轴交于Q.R点,则当k取何值时,三角形PQR的面积最小?并求出面积的最小值.
详细过程!

提问时间：2021-12-02

答案

设L：y=kx+2k+1 k=tanθ
直线M的斜率为
m=tan（θ+π/4)=（tanθ+tanπ/4)/(1-tanθ*tanπ/4)=(k+1)/(1-k)
直线M为y=(k+1)x/(1-k))+(k+3)/(1-k)
所以Q(0,2k+1);R(0,(k+3)/(1-k)) .
PQ=2k+1-(k+3)/(1-k)=(2k^2+2)/(k-1)
三角形PQR面积为【高为p到y轴距离】
S=1/2*(2k^2+2)/(k-1)*2
=(2k^2+2)/(k-1)
=2[(k-1)^2+2(k-1)+2]/(k-1)
=2[k-1+2+2/(k-1)]
用均值定理,当且仅当k-1=2/(k-1)时,S取最小值,k=1±√2,
因为k>1,所以k=1+√2
直线L的方程：y=(1+√2)x+3+2√2