题目

若f(x)的最小正周期为27,且有f(x+7)=f(7-x)对一切实数x恒成立,则f(x)是
：A,奇函数B,偶函数C,既奇又偶函数D,非奇非偶

提问时间：2021-12-02

答案

由题设易知,对任意实数x∈R,恒有：
f(x+27)=f(x)且f(14-x)=f(x).
用“反证法”.
【1】假设函数f(x)为偶函数,则可知：
恒有：f(x)=f(-x).(x∈R).
∴f(x+27)=f(x+14)=f(x).
∴f[13+(x+14)]=f(x+14).令x+14=t.则恒有f(t+13)=f(t).
即此时函数f(x)是以13为周期的周期函数.
这与题设“函数f(x)的最小正周期为27”矛盾.
∴函数f(x)不能是偶函数.
【2】假设函数f(x)是奇函数,则可知：
恒有：f(x)+f(-x)=0.(x∈R).
∴f(x+27)+f(x+14)=0.即恒有f[13+(x+14)]+f(x+14)=0..
令x+14=t.则易知恒有f(t+13)+f(t)=0.
∴f(26+t)+f(13+t)=0.两式相减可得：f(t+26)=f(t).
即函数f(x)是以26为周期的周期函数.与题设矛盾.
∴函数f(x)也不是奇函数.
综上可知,函数f(x)非奇非偶.选D.