题目

数学红对勾13：已知正数数列｛an｝中,a1=2,若关于x的方程x^2-(根号下an+1)x+（2an+1)/4=0(n属于N)
有相等的实数根.
求证1/（1+a1）+1/（1+a2）+1/（1+a2）+……+1/（1+an）

提问时间：2021-12-02

答案

若关于x的方程x^2-(根号下an+1)x+（2an+1)/4=0(n属于N)有等根,
则判别式=a(n+1)-2a(n)-1=0
∴ a(n+1)+1=2[a(n)+1]
即 {a(n)+1}是等比数列,公比是2,首项是a1+1=3
∴ a(n)+1=3*2^(n-1)
即 a(n)=-1+3*2^(n-1)
∴ 1/[a(n)+1]=1/[3*2^(n-1)]
∴ 1/（1+a1）+1/（1+a2）+1/（1+a3）+……+1/（1+an）
=(1/3)*[1+1/2+1/4+.+1/2^(n-1)]
=(1/3)*[2-(1/2)^(n-1)]