题目

围绕着圆周写了2012个数码(都是1-9的数字),已知从某一位置开始顺时针读出这些数字,得到的2012位数能被
27整除,证明：从任何一个位置开始按顺时针方向读出这些数字所得到的2010位数能被27整除

提问时间：2021-12-01

答案

若某一位置开始顺时针读出这些数字,得到的2012位数能被 27整除,
设此时该数（甲）的第一位为A,后2011位数为B,
则该数=A*10^2011+B,
∵该数能被27整除,∴A+B必能被3整除
将原数的首位作为最后一位,得新数乙=10*B*+A,设甲＞乙
甲-乙=A*10^2011+B-(10*B*+A)
=A(10^2011-1)-9B
=999..99(2011个9)*A-9B
=9*111...11*A(2011个1)-9B,
=9【111...11*A(2011个1)-B】
=9【111...10*A(2010个1)-(A+B)】
∵ 111...10(2010个1) 能被3整除（各位上数字和为2010）,A+B能被3整除,
∴111...10*A(2010个1)-(A+B)能被3整除,
∴9【111...10*A(2010个1)-(A+B)】能被27整除,
又∵甲能被27整除,
∴乙=甲-9【111...10*A(2010个1)-(A+B)】也能被27整除.
若乙＞甲,同理可得乙能被27整除.
设乙轮换后下一个数为丙,同理可得丙能被27整除；
依次类推,可得“从任何一个位置开始按顺时针方向读出这些数字所得到的2010位数能被27整除”