题目

已知函数f(x)＝loga

1−mx

x−1

(a＞0，a≠1)的图象关于原点对称．
（1）求m的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并根据定义证明．

提问时间：2021-11-30

答案

（1）∵函数f(x)＝loga1−mxx−1(a＞0，a≠1)的图象关于原点对称∴函数为奇函数，满足f（-x）+f（x）=0，即loga1+mx−x−1+loga1−mxx−1=0对定义域内任意x都成立，即loga(1+mx−x−1•1−mxx−1)=loga1，1−m2x21−...

（1）由题意得，f（x）是奇函数，得f（-x）+f（x）=0，代入解析式再用比较系数法，可得m=-1；
（2）令对数的真数为t，利用单调性的定义可以证出t（x）在区间（1，+∞）上是减函数，再用复合函数单调性可得原函数在区间（1，+∞）上的单调性．

本题考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质；函数的图象．

考点点评：本题给出真数为分式对数型函数，并研究它的单调性与奇偶性，着重考查了基本初等函数的单调性和奇偶性等常见性质，属于基础题．