题目
如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过点C作CD⊥PA于D.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AD:DC=1:3,AB=8,求⊙O的半径.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AD:DC=1:3,AB=8,求⊙O的半径.
提问时间:2021-11-30
答案
(1)证明:连接OC.
∵OC=OA,
∴∠OAC=∠OCA.
∵AC平分∠PAE,
∴∠DAC=∠OAC,
∴∠DAC=∠OCA,
∴AD∥OC.
∵CD⊥PA,
∴∠ADC=∠OCD=90°,
即 CD⊥OC,点C在⊙O上,
∴CD是⊙O的切线.
(2)过O作OM⊥AB于M.
即∠OMA=90°,
∵AB=8,
∴由垂径定理得:AM=4,
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°,
∴四边形DMOC是矩形,
∴OC=DM,OM=CD.
∵AD:DC=1:3,
∴设AD=x,则DC=OM=3x,OA=OC=DM=DA+AM=x+4,
∵在Rt△AMO中,∠AMO=90°,根据勾股定理得:AO2=42+OM2.
∴(x+4)2=42+(3x)2,
解得 x1=0(不合题意,舍去),x2=1.
则 OA=MD=x+4=5.
∴⊙O的半径是5.
∵OC=OA,
∴∠OAC=∠OCA.
∵AC平分∠PAE,
∴∠DAC=∠OAC,
∴∠DAC=∠OCA,
∴AD∥OC.
∵CD⊥PA,
∴∠ADC=∠OCD=90°,
即 CD⊥OC,点C在⊙O上,
∴CD是⊙O的切线.
(2)过O作OM⊥AB于M.
即∠OMA=90°,
∵AB=8,
∴由垂径定理得:AM=4,
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°,
∴四边形DMOC是矩形,
∴OC=DM,OM=CD.
∵AD:DC=1:3,
∴设AD=x,则DC=OM=3x,OA=OC=DM=DA+AM=x+4,
∵在Rt△AMO中,∠AMO=90°,根据勾股定理得:AO2=42+OM2.
∴(x+4)2=42+(3x)2,
解得 x1=0(不合题意,舍去),x2=1.
则 OA=MD=x+4=5.
∴⊙O的半径是5.
(1)连接OC,根据OA=OC推出∠OCA=∠OAC,根据角平分线得出∠OCA=∠OAC=∠CAP,推出OC∥AP,得出OC⊥CD,根据切线的判定推出即可;(2)过O作OM⊥AB于M,得出矩形OMDC,推出OM=CD,OC=AM+AD,求出AM的长,设AD=x,则DC=OM=3x,OA=OC=DM=DA+AM=x+4,得出方程(x+4)2=42+(3x)2,求出x的值即可求出⊙O的半径.
圆的综合题.
本题考查了矩形的性质和判定,勾股定理、垂径定理、切线的判定、平行线的性质和判定等知识点,主要考查学生综合运用定理进行推理的能力,用了方程思想.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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