题目

关于高中直线方程的问题
已知正方形的中心为直线2X-Y-2=0和X+Y+1=0的交点,正方形一边所在直线的方程为X+3Y-5=0,求其它三边所在的直线方程

提问时间：2021-11-27

答案

直线2X-Y-2=0和X+Y+1=0的交点 为 （1/3,2/3）.
点（1/3,2/3）到直线X+3Y-5=0的距离为 |1/3 + 3*2/3 - 5|/(1+3^2)^(1/2)
= 8/[3(10)^(1/2)]
正方形的位于X+3Y-5=0的对面的边所在的直线与X+3Y-5=0相互平行,
可设正方形的位于X+3Y-5=0的对面的边所在的直线方程为,
X+3Y+A = 0,
正方形的中心（1/3,2/3）到X+3Y+A = 0的距离 = 8/[3(10)^(1/2)],
则,|1/3 + 3*2/3 - A|/(1+3^2)^(1/2) = 8/[3(10)^(1/2)],
|7/3 - A| = 8/3,
A = -1/3.
得这条边的直线方程为,
X + 3Y - 1/3 = 0.
又,正方形的与X+3Y-5=0相交的边所在的直线与X+3Y-5相互垂直,
可设正方形的与X+3Y-5=0相交的边所在的直线方程为,
3X - Y + B = 0,
正方形的中心（1/3,2/3）到3X-Y+B = 0的距离 = 8/[3(10)^(1/2)],
则,
|3*1/3 - 2/3 + B|/(1+3^2)^(1/2) = 8/[3(10)^(1/2)],
|1/3 + B| = 8/3,
B1 = 7/3,3X - Y + 7/3 = 0,
B2 = -3.3X - Y - 3 = 0.
综合,有,
正方形的其他三边所在的直线方程分别为,
X + 3Y - 1/3 = 0,
3X - Y + 7/3 = 0,
3X - Y - 3 = 0.