题目

fx=(3x^2-6x+6)e^x-x^3 x1不等于x2满足fx1=fx2求证x1+x2<0

提问时间：2021-11-19

答案

由f(x)=(3x^2-6x+6)e^x-x^3
知f'(x)=3x^2(e^x-1)
令f'(x)=0,即3x^2(e^x-1)=0,解得x=0
当x0,e^x0,表明f(x)递增
易知f(x)在x=0取得最小f(x)min=f(0)=6
因f(-x)=(3x^2+6x+6)e^x+x^3（注意,这里f(-x)表示的仍然是自变量为x的函数,而不是自变量为-x的函数,可以将f(-x)视为g(x)来理解.事实上,f(x)与f(-x)是关于y轴对称的两个函数）
易知f'(-x)=3x^2(e^x-1)/e^x
同理知f(-x)在x=0取得最小f(-x)min=f(0)=6
并且当x>0时f'(-x)>0,表明f(-x)在x>0上也为增函数
令任意x0>0
则f'(x0)=3x0^2(e^x0-1)>0
且f'(-x0)=3x0^2(e^x0-1)/e^x0>0
显然f'(-x0)=f'(x0)/e^x0