题目

双曲线

x2

a2

−

y2

b2

＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是______．

提问时间：2021-11-18

答案

双曲线

x2

a2

−

y2

b2

＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为：
y=

b

a

x，
∵点（1，2）在“上”区域内，
∴

b

a

× 1＜2，即

b

a

＜ 2，
∴e＝

c

a

＝ 

1+ ( b a ) 2

 ＜

1+22

=

5

，
又e＞1，
则双曲线离心率e的取值范围是(1，

5

)．
故答案为：(1，

5

)．

由于双曲线

x2

a2

−

y2

b2

＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为：y=

b

a

x，及点（1，2）在“上”区域内，得出

b

a

＜ 2，从而得出双曲线离心率e的取值范围．

本题考点：双曲线的简单性质；二元一次不等式（组）与平面区域．

考点点评：本小题主要考查双曲线的简单性质、不等式（组）与平面区域、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．