题目

已知函数f（x）=

x

，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

提问时间：2021-11-16

答案

∵函数f（x）=

x

，g（x）=alnx，a∈R．
∴f′（x）=

1

2 x

，g′（x）=

a

x

（x＞0），
由已知曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在交点处有相同的切线，
故有

x

=alnx且

1

2 x

=

a

x

，
解得a=

e

2

，x=e²，
∵两条曲线交点的坐标为（e²，e）切线的斜率为k=f′（e²）=

1

2e

，
∴切线的方程为y-e=

1

2e

（x-e₂）．

先求出交点，再根据切线相等求出a，最后由直线上一点及斜率求出直线方程即可．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导数的几何意义，正确求导是关键．