题目

若直线ax+by+1=0（a、b＞0）过圆x²+y²+2x+2y+1=0的圆心，则

1

a

+

4

b

的最小值为______．

提问时间：2021-11-05

答案

圆x²+y²+2x+2y+1=00的圆心（-1，-1）在直线ax+by+1=0上，
所以-a-b+1=0，即 1=a+b代入

1

a

+

4

b

，
得

1

a

+

4

b

=（

1

a

+

4

b

）（a+b）=5+

b

a

+

4a

b

≥9 （a＞0，b＞0当且仅当a=b时取等号）
则

1

a

+

4

b

的最小值为9，
故答案为：9．

直线过圆心，先求圆心坐标，推出a+b=1，利用1的代换，以及基本不等式求最小值即可．

本题考点：直线和圆的方程的应用．

考点点评：本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式，本题关键是利用1的代换后利用基本不等式，考查计算能力，是中档题．