题目

高数问题：设函数y=f(x)与y=F(x)在点x0处可导,试证曲线y=f(x)与y=F(x)在点x0处相切的充要条件是：
当x趋向于x0时,f(x)-F(x)是x-x0的高阶无穷小.
请给出详细证明,谢谢!

提问时间：2021-11-03

答案

只要这两个曲线在x0处的切线斜率相同,且交于同一点.
即f'(x0)=F'(x0)和f(x0)=F(x0)
首先我们看充分性
如果有f(x)-F(x)是x-x0的高阶无穷小
用数学公式描述
(1)
lim[f(x)-F(x)]=0
即f(x)=F(x)
(2)
lim[f(x)-F(x)]/(x-x0) = 0
即lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim[F(x)-F(x0)]/(x-x0)
即f'(x)=F'(x)
再看必要性
这个就是上述的反过程.
于是得证.