题目

已知a,b,c都是正数,a+b+c=1,设t=(根号3a+2)+(根号3b+2)+( 根号3c+2),求证:t≤6
貌似是题目错了只能证 t＜6

提问时间：2021-11-03

答案

证：
已知a>0,b>0,c>0,a+b+c=1
设X=√(3a+2),Y=√(3b+2),Z=√(3c+2)
则t=X+Y+Z
X^2=(3a+2),Y^2=(3b+2),Z^2=(3c+2)
X^2+Y^2+Z^2=(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=3*(a+b+c)+6=9
∵（X-Y）^2≥0,（Y-Z）^2≥0,（X-Z）^2≥0
∴2XY≤X^2+Y^2,2YZ≤Y^2+Z^2,2XZ≤X^2+Z^2
t=X+Y+Z
t^2=X^2+Y^2+Z^2+（2XY）+（2YZ）+（2XZ）
≤X^2+Y^2+Z^2+（X^2+Y^2）+（Y^2+Z^2）+（X^2+Z^2）
=3*（X^2+Y^2+Z^2）=3*9=27
即t^2≤27
故t的最大值=√27=3√3