题目

斜三角形ABC的面积为S，且2S＝3tanA，

AB

•

AC

＝cotA，且cosB＝

3

5

，求cosC．

提问时间：2021-10-27

答案

由已知得：

bcsinA= 3sinA cosA bccosA= cosA sinA

，
∵sinA≠0，cosA≠0，
∴

bccosA=3>0 bcsinA=1

，
∴cosA=3sinA，且A∈（0，

π

2

），
又sin²A+cos²A=1，
∴sinA=

10

10

，cosA=

3 10

10

，
依题意cosB=

3

5

，得sinB=

4

5

，
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

10

10

．

根据三角形的面积公式及平面向量的数量积的运算法则化简2S＝3tanA，

AB

•

AC

＝cotA，得到关于sinA和cosA的关系式，利用sin²A+cos²A=1，联立即可求出sinA和cosA的值，再根据cosB的值，由B的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sinB的值，把所求的式子利用诱导公式及两角和的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．

本题考点：解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值．

考点点评：此题考查学生灵活运用两角和的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，掌握平面向量的数量积的运算法则，是一道中档题．