题目

如图,已知正方形OABC在直角坐标系xOy中,点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,点O在
等腰直角三角板OEF的直角顶点O在原点，E、F分别在OA、OC上，且OA=4，OE=2．将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1的位置，连接CF1、AE1．
（1）求证：△OAE1≌△OCF1；
（2）若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF，若存在，请求出此时E点坐标；若不存在，请说明理由．（第二问有两个答案不用‘同理可得’证明要详细O(∩_∩)O谢谢）

提问时间：2021-10-26

答案

（1）证明：
∵四边形OABC为正方形,∴OC=OA．
∵三角板OEF是等腰直角三角形,∴OE1=OF1．
又三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1的位置时,∠AOE1=∠COF1,
∴△OAE1≌△OCF1．
（2）存在．
∵OE⊥OF,
∴过点F与OE平行的直线有且只有一条,并与OF垂直,
当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时,
则点F在以O为圆心,以OF为半径的圆上．
∴过点F与OF垂直的直线必是圆O的切线．
又点C是圆O外一点,过点C与圆O相切的直线有且只有2条,不妨设为CF1和CF2,
此时,E点分别在E1点和E2点,满足CF1∥OE1,CF2∥OE2．
当切点F1在第二象限时,点E1在第一象限．
在直角三角形CF1O中,OC=4,OF1=2,
cos∠COF1= 1/2 ,
∴∠COF1=60°,∴∠AOE1=60°．
∴点E1的横坐标为：xE1=2cos60°=1,
点E1的纵坐标为：yE1=2sin60°= 根号3,
∴点E1的坐标为（1,根号3 ）；
当切点F2在第一象限时,点E2在第四象限．
同理可求：点E2的坐标为（1,- 根号3）．
综上所述,三角板OEF绕O点逆时针旋转一周,存在两个位置,使得OE∥CF,此时点E的坐标为E1（1,根号3 ）或E2（1,-根号3 ）．