题目

已知函数f（x）=（a-1）lnx+ax^2+1.如果对任意的x1>x2>0,总有f(x1)-f(x2)>2(x1-x2),求实数a的取值范围.
这道题目可不可以用导数来做,为什么福建质检类似的题目则不可以用导数做呢,还有 如果构造函数F(x)=f(x)-2x,算出来的答案貌似是可以取闭区间,而用拉格朗日中值定理算出来则不能取闭区间.为什么呢

提问时间：2021-10-20

答案

可以用导数来做.条件相当于
F(x)=f(x)-2x为单调增函数
F'(x)=(a-1)/x+2ax-2>=0
2ax^2-2x+(a-1)>=0 对于x>0都成立
显然a>0,没负半平面交点则;delta=4-8a(a-1) 2a^2-2a-1>=0--> a>=(1+√3)/2
有负半面交点则交点小于0,两根和=1/a=(1+√3)/2