题目

已知函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），（a＞0，且a≠1）
（1）求函数f（x）-g（x）定义域；判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；
（2）求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范围．

提问时间：2021-10-19

答案

（1）使函数f（x）-g（x）有意义，必须有：

1+x＞0 1−x＞0

    解得：-1＜x＜1
所以函数f（x）-g（x）的定义域是{x|-1＜x＜1}             …（4分）
函数f（x）-g（x）是奇函数
证明：∵x∈（-1，1），-x∈（-1，1），…．…（5分）
f（-x）-g（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）
=-[log_a（1+x）-log_a（1-x）]=-[f（x）-g（x）]
∴函数f（x）-g（x）是奇函数                               …（8分）
（2）使f（x）-g（x）＞0，即log_a（1+x）＞log_a（1-x）
当a＞1时，有

1+x＞1−x 1−x＞0 1+x＞0

  解得x的取值范围是（0，1）…（10分）
当0＜a＜1时，有

1+x＜1−x 1−x＞0 1+x＞0

  解得x的取值范围是（-1，0）…（12分）

（1）根据对数函数的真数大于0建立关系式可求出函数的定义域，判断函数f（x）-g（x）的奇偶性直接利用函数奇偶性的定义；
（2）讨论a与1的大小关系，根据函数的单调性建立关系式，解之即可，需注意函数的定义域．

本题考点：函数奇偶性的判断；对数函数的图像与性质．

考点点评：本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，判断函数的奇偶性的方法，解对数不等式，属于中档题．