题目

已知数列{an}:a1=1,.a2=2,a3=r,a(n+3)=an+2,数列{bn}:bn=cosnπ/2,n∈N*
已知数列{an}:a1=1,.a2=2,a3=r,a(n+3)=an+2,n∈N* 数列{bn}:bn=cosnπ/2,Tn=a1b1+a2b2+...anbn,n∈N*
（1）若a₁+a₂+a₃+…+a₁₂=64,求r的值
（2）求证：T_12n=4n(n∈N*)
（3）是否存在m∈N*,不论r为何值,Tm=2013总成立,若存在,求出m的值,若不存在,说明理由

提问时间：2021-10-16

答案

（1）a1+a2+a3+…+a12
=1+2+r+3+4+（r+2）+5+6+（r+4）+7+8+（r+6）
=48+4r．
48+4r=64,
r=4．
(2)用数学归纳法证明：当n∈Z+时,T12n=4n．b1=0,b2=-1,b3=0,b4=1,b5=0,b6=-1.
①当n=1时,T12=a4-a2+a8-a6+a12-a10=4,
等式成立
②假设n=k时等式成立,即T12k=4k,
那么当n=k+1时,
T12（k+1）=T12k-a(12k+2)+a(12k+4)-a(12k+6)+a(12k+8)+.-a(12k+11)+a12(k+1)=T12k+4=4k+4=4(k+1).等式也成立．
根据①和②可以断定：当n∈Z+时,T12n=4n．
（3）当m=12n,12n+1,12n+4,12n+5时,Tn=4n,m=12n+2,12n+3时,Tn=-4n-2,m=12n+6,12n+7,12n+10,12n+11时Tn=-4n-r-2,m=12n+8,12n+9时,Tn=4n+4-r.其中当m=12n,12n+1,12n+2,12n+3,12n+4,12n+5时Tn值与r无关.当m=12n,12n+1,12n+4,12n+5时,Tn=4n,为4的倍数,2013为奇数,不符合要求.当m=12n+2,12n+3时,Tn=-4n-2