题目
设函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),求证:
(1)f(0)=0;
(2)f(3)=3f(1);
(3)f(
)=
f(1).
(1)f(0)=0;
(2)f(3)=3f(1);
(3)f(
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提问时间:2021-10-14
答案
(1)∵对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)∴当x=y=0时,有f(0+0)=f(0)+f(0)∴f(0)=0
(2)同(1),∵f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)∴f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)
(3)同(1),取x=y=
,有f(1)=f(
)+f(
)∴f(
)=
f(1)
(2)同(1),∵f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)∴f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)
(3)同(1),取x=y=
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(1)令x=y=0,即可得到关于f(0)的方程,解方程即可求出;
(2)先令x=1,y=1,代入恒等式求f(2),再令x=2,y=1求f(3);
(3)x=y=
,由恒等式整理既得所要的结论.
(2)先令x=1,y=1,代入恒等式求f(2),再令x=2,y=1求f(3);
(3)x=y=
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抽象函数及其应用.
本题考查抽象函数及其应用,求解的关键是理解恒等式的意义以及灵活赋值的方式,利用恒等式求值或式,根据要求的或要证的进行选择性赋值很关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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