题目

在如图所示的几何体中，平行四边形ABCD的顶点都在以AC为直径的圆O上，AD=CD=DP=a，AP=CP=

2

a，DP∥AM，且AM=

1

2

DP，E，F分别为BP，CP的中点．
（I）证明：EF∥平面ADP；
（II）求三棱锥M-ABP的体积．

提问时间：2021-10-14

答案

（I）证明：∵AC是圆O的直径，
∴∠ADC为直角，即CD⊥AD （1分）
∵AD=CD=a，∴平行四边形是ABCD正方形，∴BC∥AD   
在△PBC中，E，F分别是PB，
PC的中点，∴EF∥BC．
又BC∥AD，∴EF∥AD，
又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（II）∵AD²+DP²=AP²，∴∠ADP是直角，∴DP⊥AD，（7分）
同理DP⊥CD
∴DP⊥平面 ABCD （8分）
∵DP∥AM，∴AM⊥平面ABCD，（9分）
∴AM⊥AD，又∴AB⊥AD
∴AD⊥平面ABM，（10分）
∴点D到平面ABM的距离AD，即为点P到平面ABM的距离，
在直角三角形ABM中，S_△ABM=

1

2

AB•AM=

1

4

a2 （11分）
∴V_P-ABM=

1

3

 S_△ABM•AD=

1

3

×

1

4

a²•a=

1

12

a3   （13分）
∴V _M-ABP=V _P-ABM=

1

12

a3．（14分）

（Ⅰ）要证明：EF∥平面PAD，根据线面平行的判定定理可知，只需证明EF∥AD即可．
（Ⅱ）求三棱锥M-ABP的体积V，转化为求三棱锥P-ABM的体积．只需求出底面△ABM的面积，再求出P到底面的距离，即可．

本题考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

考点点评：本题考查证明线面平行的方法，三棱锥的体积公式，根据线面平行的判定定理是解题的关键．