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题目
在如图所示的几何体中,平行四边形ABCD的顶点都在以AC为直径的圆O上,AD=CD=DP=a,AP=CP=
2
a,DP∥AM,且AM=
1
2
DP,E,F分别为BP,CP的中点.
(I)证明:EF∥平面ADP;
(II)求三棱锥M-ABP的体积.

提问时间:2021-10-14

答案
(I)证明:∵AC是圆O的直径,
∴∠ADC为直角,即CD⊥AD (1分)
∵AD=CD=a,∴平行四边形是ABCD正方形,∴BC∥AD   
在△PBC中,E,F分别是PB,
PC的中点,∴EF∥BC.
又BC∥AD,∴EF∥AD,
又∵AD⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,
∴EF∥平面PAD;
(II)∵AD2+DP2=AP2,∴∠ADP是直角,∴DP⊥AD,(7分)
同理DP⊥CD
∴DP⊥平面 ABCD (8分)
∵DP∥AM,∴AM⊥平面ABCD,(9分)
∴AM⊥AD,又∴AB⊥AD
∴AD⊥平面ABM,(10分)
∴点D到平面ABM的距离AD,即为点P到平面ABM的距离,
在直角三角形ABM中,S△ABM=
1
2
AB•AM=
1
4
a2
 (11分)
∴VP-ABM=
1
3
 S△ABM•AD=
1
3
×
1
4
a2•a=
1
12
a
3
   (13分)
∴V M-ABP=V P-ABM=
1
12
a
3
.(14分)
(Ⅰ)要证明:EF∥平面PAD,根据线面平行的判定定理可知,只需证明EF∥AD即可.
(Ⅱ)求三棱锥M-ABP的体积V,转化为求三棱锥P-ABM的体积.只需求出底面△ABM的面积,再求出P到底面的距离,即可.

棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.

本题考查证明线面平行的方法,三棱锥的体积公式,根据线面平行的判定定理是解题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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