题目

在三角形ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,已知a,b,c成等比数列,且a^2-c^2=ac-bc.
求bsinB/c的值

提问时间：2021-10-14

答案

a,b,c成等比数列,则可表示为a,ar,ar^2
余弦定理：(ar)^2=a^2+(ar^2)^2-2a(ar^2)cosB
整理得2r^4-5r^2+2=0 r=1/√2 或 r=√2
所以三边的比为1:√2:2或者2:√2:1
因此不妨令a为最短边（若令c为最短边,结果一致）
从三角函数关系易得sinB=√7/4
通过正弦定理,sinA=√7/(4√2),sinC=√7/(2√2)
通过余弦定理,或sin^2+cos^2=1可以求出 cosA=5/(4√2),cosC=-1/(2√2)
cotA+cotC=5/√7-1/√7=4/√7
a*c*cosB=3/2 得ac=2,c=2a =>a=1,c=2 a+c=3