题目

如图，AB，BC分别是⊙O的直径和弦，点D为

BC

上一点，弦DE交⊙O于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且HC=HG，连接BH，交⊙O于点M，连接MD，ME．
求证：

（1）DE⊥AB；
（2）∠HMD=∠MHE+∠MEH．

提问时间：2021-10-14

答案

证明：（1）连接OC，
∵HC=HG，
∴∠HCG=∠HGC；
∵HC切⊙O于C点，
∴∠OCB+∠HCG=90°；
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠HGC=∠BGF，
∴∠OBC+∠BGF=90°，
∴∠BFG=90°，即DE⊥AB；
（2）连接BE，
由（1）知DE⊥AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴

BD

=

BE

，
∴∠BED=∠BME；
∵四边形BMDE内接于⊙O，
∴∠HMD=∠BED，
∴∠HMD=∠BME；
∵∠BME是△HEM的外角，
∴∠BME=∠MHE+∠MEH，
∴∠HMD=∠MHE+∠MEH．

（1）连接OC，证明∠BFG=∠OCH=90°即可；
（2）连接BE，证明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可．

本题考点：切线的性质；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；垂径定理．

考点点评：此题综合性较强，主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的性质、内接四边形的性质．