题目

线性代数一个问题的理解
∵【定理2】在所有的n级排列中,奇偶排列各占一半.
证明 设n级排列中,奇排列共有p个,而偶排列共有q个.对这p个奇排列进行同一个对换,如都将第1,2位置的两个数对换.
由于对换改变排列的奇偶性,则原p个奇排列对换后变为p个不同的偶排列,因而
p≤q
同理可得q≤p
因此p=q=n!/2
我的疑问：
p≤q
q≤p
中那个>和

提问时间：2021-10-14

答案

p个奇排列可转化为p个不同的偶排列,所以偶排列至少有p个,故有 q >= p
同理有 p >= q
一一对应不好说明,用上述依法更有效!
也可这样证:
设 n阶行列式D中的元素都是1,则当n>1时,行列式有两行相同,故 D=0.
又由行列式的定义,D = ∑ (-1) ^t (j1j2...jn) = 0
即和式中正负项各一半
所以 奇偶排列 各一半.