题目

已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx(a≠0,x∈R)为奇函数,且在x=1处取得极大值2 2g(x)=f(x)/x+(k+1)lnx,
y=g(x)的单调区间
3在(2)的条件下,当k=2时,若函数g(x)图像在直线y=x+m下方,求m
重在第三问

提问时间：2021-10-14

答案

1.f奇,b=0,
f'(x)=3ax^2+c,
f'(1)=3a+c=0,
f(1)=a+c=2,
解得a=-1,c=3.f(x)=-x^3+3x.
2.g(x)=-x^2+3+(k+1)lnx(x>0),
g'(x)=-2x+(k+1)/x=-2[x^2-(k+1)/2]/x,
k<=-1时g'(x)<0,g(x)↓；
k>-1时00,g(x)↑；x>√[(k+1)/2],g'(x)<0,g(x)↓.
3.函数g(x)图像在直线y=x+m下方,
<==>x+m-(-x^2+3+3lnx)>0,x>0,
<==>m>-x^2-x+3+3lnx,记为h(x),
h'(x)=-2x-1+3/x=(-2x^2-x+3)/x=-(x-1)(2x+3)/x,
00,h(x)↑；x>1时h'(x)<0,h(x)↓.
∴h(x)|max=h(1)=1,
∴m>1,为所求.