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题目
数分 求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1在第一象限中的切线,使它被坐标轴所截得线段最短
求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1在第一象限中的切线,使它被坐标轴所截得线段最短

提问时间:2021-10-13

答案
对x^2/a^2+y^2/b^2=1两边对x求导得
2x/a^2+2y*y'/b^2=0,因此切线斜率是
y'=-b^2x/(a^2y).
切线方程为Y-y=-b^2x/(a^2y)(X-x),
分别令X=0和Y=0解得切线与两个坐标轴的交点为
(0,b^2/y)和(a^2/x,0).
切线段程度的平方是
b^4/y^2+a^4/x^2=a^2(b^2/(a^2-x^2)+a^2/x^2).
函数f(x)=b^2/(a^2-x^2)+a^2/x^2,
f'(x)=2b^2x/(a^2-x^2)^2-2a^2/x^3=0,
注意到a^2-x^2>0,可解得x=a根号(a/(a+b)).
对应的y=b根号(b/(a+b)).
切线方程是Y=-根号(b/a)x+根号(b(a+b)).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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