题目

在实数集R上定义运算：x⊗y=x（a-y）（a∈R，a为常数），若f（x）=e^x，g（x）=e^-x+2x²，F（x）=f（x）⊗g（x），
（Ⅰ）求F（x）的解析式；
（Ⅱ）若F（x）在R上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=-3，在F（x）的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．

提问时间：2021-10-04

答案

（I）由定义运算：x⊗y=x（a-y），得
F（x）=f（x）⊗g（x）
=f（x）⊗（a-g（x））
=e^x（a-e^-x-2x²）
=ae^x-1-2x²e^x；
（II）∵F′（x）=ae^x-2x²e^x-4xe^x=-e^x（2x²+4x-a），
又当x∈R时，F（x）在减函数，∴F′（x）≤0对于x∈R恒成立，
即-e^x（2x²+4x-a）≤0恒成立，
∵-e^x＜0，∴2x²+4x-a≥0恒成立，
∴△=16-8（-a）≤0，
∴a≤-2；
（III）当a=-3时，F（x）=-3e^x-1-2x²e^x，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是F（x）曲线上的任意两点，
∵F′（x）=-e^x（2x²+4x+3）
=-e^x[2（x+1）²+1]＜0，
∴F′（x₁）•F′（x₂）＞0，
∴F′（x₁）•F′（x₂）=-1 不成立．
∴F（x）的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直．

（Ⅰ）直接由定义运算，把f（x），g（x）的解析式代入F（x）=f（x）⊗g（x）整理得答案；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中求得的F（x）求导，由导函数在R上小于等于0恒成立转化为二次不等式恒成立问题，由判别式的符号得不等式求解a的取值范围；
（Ⅲ）把a=-3代入函数解析式，求出函数导函数，由求得的导函数恒小于0说明F（x）的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题是新定义题，考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了数学转化思想方法，训练了利用“三个二次”结合解决恒成立问题，属中高档题．