题目
如图1,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,点D在线段AC上.
(1)证明:B、C、E三点共线;
(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明:MN=
OM;
(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)后,记为△D1CE1(图2),若M1是线段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,M1N1=
OM1是否成立?若是,请证明;若
不是,说明理由.
(1)证明:B、C、E三点共线;
(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明:MN=
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(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)后,记为△D1CE1(图2),若M1是线段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,M1N1=
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a50f4bfbfbedab6423fea971f436afc378311ef6.jpg)
提问时间:2021-10-04
答案
(1)证明:∵AB是直径,∴∠BCA=90°,而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,∴∠ACB=∠DCE=90°,∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°,∴B、C、E三点共线;(2)连接BD,AE,ON,延长BD交AE于F,如图1,∵CB=CA,CD=CE,...
(1)根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°,∠DCE是直角,即可得到∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°;
(2)连接BD,AE,ON,延长BD交AE于F,先证明Rt△BCD≌Rt△ACE,得到BD=AE,∠EBD=∠CAE,则∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°,即BD⊥AE,再利用三角形的中位线的性质得到ON=
BD,OM=
AE,ON∥BD,AE∥OM,于是有ON=OM,ON⊥OM,即△ONM为等腰直角三角形,即可得到结论;
(3)证明的方法和(2)一样.
(2)连接BD,AE,ON,延长BD交AE于F,先证明Rt△BCD≌Rt△ACE,得到BD=AE,∠EBD=∠CAE,则∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°,即BD⊥AE,再利用三角形的中位线的性质得到ON=
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(3)证明的方法和(2)一样.
圆周角定理;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;三角形中位线定理;旋转的性质.
本题考查了直径所对的圆周角为直角和三角形中位线的性质;也考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及旋转的性质.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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