题目

已知向量a=(x,√3y),b=(1,0),且(a+√3b)⊥(a-√3b).
(1)求满足上述条件的点M(x,y)的轨迹C的方程
(2)设曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点P、Q,点A(0,-1),当|AP|=|AQ|时,求实数m的取值范围

提问时间：2021-10-01

答案

∵(a+√3b)⊥(a-√3b).
∴a²-3b²=0
x²+3y²=3
x²/3+y²=1
(2)
联立：
{x²+3y²=3
{y=kx+m
x²+3(kx+m)²=3
(3k²+1)x²+6mkx+3(m²-1)=0
Δx=36m²k²-12(3k²+1)(m²-1)>0
3m²k²>(3k²+1)(m²-1)
3m²k²>(3k²+1)(m²-1)
3k²+1>m²
设p,q的中点为M(x0,y0)
x0=(x1+x2)/2=-3mk/(3k²+1)
y0=kx0+m=m/(3k²+1)
M(-3mk/(3k²+1),m/(3k²+1)),
∵|AP|=|AQ|,
∴AM⊥PQ,
A(0,-1)
K(AM)=(m+3k²+1)/(-3mk)=-1/k
2m=3k²+1>m²
m(m-2)0