题目

已知函数f（x）=log3

mx2+8x+n

x2+1

的定义域为R，值域为[0，2]，求m．n的值．

提问时间：2021-09-30

答案

由于f（x）=log3mx2+8x+nx2+1的定义域为R，∵x2+1＞0，故mx2+8x+n＞0恒成立．令y=mx2+8x+nx2+1，由于函数f（x）的值域为[0，2]，则 1≤y≤9，且（y-m）•x2-8x+y-n=0 成立．由于x∈R，①若y-m≠0，∴方程的判别式△=...

令y=

mx2+8x+n

x2+1

，则 1≤y≤9，且（y-m）•x²-8x+y-n=0 成立，故判别式△≥0，即 y²-（m+n）y+mn-16
≤0．再根据 y=1和y=9是方程 y²-（m+n）y+mn-16=0的两个根，求出m、n的值．

本题考点：对数函数的定义域；对数函数的值域与最值．

考点点评：本题考查指数式与对数式的互化，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．