题目

奇函数（ax^2+bx+1）/（cx+d）【x≠0,a大于1】,当x大于0,f(x)的最小值为2根号2,f(1)=3
1求f(x)表达式
2.数列an中,a1=根号5,a(n+1)的平方/an=f(an),求数列【an】的通项公式
3.对2问中数列{an},若bn=log2为底（1+an平方）/3为对数,求数列{bncosnπ}的前n项和
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提问时间：2021-09-29

答案

(1)因为奇函数（ax^2+bx+1）/（cx+d）为奇函数,所以f(-x)+f(x)=0恒成立可得b=d=0,
所以f(x)=(ax^2+1)/cx,f(1)=(a+1)/c=3,得a+1=3c①,又当x大于0,f(x)的最小值为2根号2,
f(x)=(ax^2+1)/cx=a(x+1/(ax))/c,所以c>0,由均值不等式可知当x=1/√a时等号成立,
所以2√a/c=2√2,得a=2c^2②,联立①②可求c=1/2(此时a=1/2,不合舍去)或c=1,a=2
所以f(x)=(2x^2+1)/x
(2) a(n+1)的平方/an=f(an)=(2an^2+1)/an→a(n+1)^2=2a(n)^2+1,
所以a(n+1)^2+1=2[a(n)^2+1],所以数列｛a(n)^2+1｝是首项等于6,公比等于2的等比数列,
a(n)^2+1=3×2^n,
所以an=√(3×2^n-1)
(1)bn=n,数列{bncosnπ}的前n项和Tn=-1+2-3+4+----+ncosnπ=①当n=4k时,Tn=2k；②当n=4k+1时,Tn=2k-1；③当n=4k+2时,Tn=2k+1；④当n=4k+3时,Tn=2k-2