题目

我们知道，如果定义在某区间上的函数f（x）满足对该区间上的任意两个数x₁、x₂，总有不等式

f(x1)+f(x2)

2

≤f(

x1+x2

2

)成立，则称函数f（x）为该区间上的向上凸函数（简称上凸）．类比上述定义，对于数列{a_n}，如果对任意正整数n，总有不等式：提问时间：2021-09-25

答案

∵

an+an+2

2

≤an+1，∴

an+2−an+1

n+2−n−1

≤

an+1−an

n+1−n

，
∴

a10−a1

10−1

≤

a5−a1

5−1

，把a₁=1，a₁₀=28代入，得a₅≥13…（1）．
在|a_n-b_n|≤20，b_n=n²-6n+10中，令n=5，得b₅=25-30+10=5，
∴-20≤a₅-b₅≤20，∴-15≤a₅≤25…（2）．
（1）、（2）联立得13≤a≤25．
答案：[13，25]．

an+an+2

2

≤an+1⇒

an+2−an+1

n+2−n−1

≤

an+1−an

n+1−n

⇒a₅≥13…（1），在|a_n-b_n|≤20，b_n=n²-6n+10中，令n=5⇒-15≤a₅≤25…（2）；（1）、（2）联立能得到第五项a₅的取值范围．

本题考点：数列的应用．

考点点评：本题具有一定的难度，解题时要注意公式的合理转化．