题目

如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC，N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．

提问时间：2021-09-19

答案

证明：如图，过M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形，∴NE=AM，ME⊥BC，∵ME=AN=CM，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC，∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°...

可过点M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，得出四边形AMEN为平行四边形，再通过求证△BEM≌△AMC，可得出△BEN为等腰直角三角形，进而再利用平行线的性质可得出结论．

本题考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评：本题主要考查平行四边形的判定及性质，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定及性质，能够求解一些简单的应用问题．