题目

设x＞1，y＞1，且2log_xy-2log_yx+3=0，求T=x²-4y²的最小值．

提问时间：2021-09-18

答案

令t=log_xy，∵x＞1，y＞1，∴t＞0．
由2log_xy-2log_yx+3=0得2t−

2

t

+3＝0，∴2t²+3t-2=0，
∴（2t-1）（t+2）=0，∵t＞0，
∴t＝

1

2

，即logxy＝

1

2

，∴y＝x

1

2

，
∴T=x²-4y²=x²-4x=（x-2）²-4，
∵x＞1，
∴当x=2时，T_min=-4．

应用换元法先解出log_xy 的值，找出x和y的关系，从而求T=x²-4y²的最小值．

本题考点：对数的运算性质；函数的最值及其几何意义．

考点点评：本题考查还原的数学思想方法，及用配方法求二次函数最值．