题目

已知a＞0，函数f（x）=ax²+bx+c，若x₀满足关于x的方程2ax³+bx²+2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（　　）
A. ∃x∈R，f（x）≤f（x₀）
B. ∃x∈R，f（x）≥f（x₀）
C. ∀x∈R，f（x）≤f（x₀）
D. ∀x∈R，f（x）≥f（x₀）

提问时间：2021-09-12

答案

∵x₀满足关于x的方程2ax³+bx²+2ax+b=0，
∴2ax₀³+bx₀²+2ax₀+b=0，
∴x02（2ax₀+b）+（2ax₀+b）=0，
∴（x02+1）（2ax₀+b）=0，
∴x₀=-

b

2a

．
∵a＞0，
∴函数f（x）=ax²+bx+c在x=x₀处取到最小值f（-

b

2a

）=f（x₀）
∴∀x∈R，f（x）≥f（x₀），
所以命题C错误．
故选C．

由x₀满足关于x的方程2ax³+bx²+2ax+b=0，得出x₀=-

b

2a

．由a＞0可知二次函数有最小值．

本题考点：命题的真假判断与应用．

考点点评：本题考查二次函数的最值问题，全称命题和特称命题真假的判断，注意对符号∃和∀的区分和理解．