题目

若a2+a+1=0,求[a2007+(1/a)2007]2+[a2008+(1/a)2008]2
Rt
问题里的数字都是指数，数字全是指数啊，除了条件里的1

提问时间：2021-09-11

答案

因为a2+a+1=0,所以a+1+1/a=0.所以a+1/a=-1.
（a+1/a）2=1,即,a2+(1/a)2=-1.又（a+1/a）3=-1,即,a3+(1/a)3=2.
假设a3k+(1/a)3k=2成立,当n=3（k+1）时,a3（k+1）+(1/a)3（k+1）=[ak+(1/a)k]3-3[ak+(1/a)k]=8-6=2,成立.（数学归纳法）
同理,当n=3k+1(或者3k-1)时,a(3k+1)+(1/a)(3k+1)=-1成立.
所以[a2007+(1/a)2007]2+[a2008+(1/a)2008]2=2的平方+(-1)的平方=5.
证毕,