题目

已知：f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）在其定义域内的单调性；
（3）若f（x）在（1，+∞）内恒为正，试比较a-b与1的大小．

提问时间：2021-09-10

答案

（1）要使函数有意义，则ax-bx＞0，∴(ab)x＞1，∵ab＞1，∴x＞0，∴f（x）的定义域为（0，+∞）．（2）设x2＞x1＞0，∵a＞1＞b＞0，∴ax2＞ax1，bx1＞bx2，则−bx2＞−bx1，∴ax2−bx2＞ax1−bx1＞0，∴ax2−bx2ax1...

（1）由对数的真数大于零得，a^x-b^x＞0，再由a＞1＞b＞0和指数函数的性质，求出不等式解集即函数的定义域；
（2）先在定义域任取两个自变量，即x₂＞x₁＞0，利用指数函数的性质比较对应真数的大小，再根据y=lgx在定义域上是增函数，得出f（x₂）与f（x₁）的大小，判断出此函数的单调性；
（3）根据（2）证出的函数单调性，求出此区间内的函数的最小值f（1），只要f（1）≥0成立即可，代入函数解析式，利用lg1=0判断a-b与1的大小．

本题考点：函数的定义域及其求法；函数单调性的性质．

考点点评：本题是关于对数型复合函数的综合题，根据真数大于零求函数的定义域，判断函数的单调性即比较真数的大小，对于恒成立问题，就是由函数的单调性求出在区间上的最值．